Lời giải

a) Ta có: AB là đường kính của (O) => sđ cung AB = $180^{\circ}$

=> sđ cung lớn BC = sđ cung AB + sđ cung AC = $180^{\circ}+60^{\circ}=240^{\circ}$

Sđ cung nhỏ BC = sđ cung CD + sđ cung DB = $60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$

Ta có: $\widehat{BTC}$ là góc có đỉnh nằm bên ngoài (O) nên

$\widehat{BTC}$ =$\frac{1}{2}$ . sđ (cung lớn CB – cung nhỏ CB) =$\frac{1}{2}.120^{\circ}$ = $60^{\circ}$ (1)

Mặt khác: $\widehat{AEB}$ là góc có đỉnh nằm bên ngoài (O) nên

$\widehat{AEB}$=$\frac{1}{2}$ . sđ (cung AB – cung CD) = $\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}$ = $60^{\circ}$  (2)

Từ (1)(2) => $\widehat{BTC}$ =  $\widehat{AEB}$ (= $60^{\circ}$)  (đpcm)

b) Ta có:  $\widehat{DCT}$ là góc tạo bởi tia tiếp tiếp CT và dây cung CD của (O) =>  $\widehat{DCT}$ = $\frac{1}{2}$ . sđ cung CD

Lại có:  $\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn cung CB của (O) =>  $\widehat{BCD}$ = $\frac{1}{2}$ . sđ cung CB

mà sđ cung CD = sđ cung CB (gt)

=>  $\widehat{DCT}$ = $\widehat{BCD}$ 

=> CD là tia phân giác của $\widehat{BCT}$