Lời giải

a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước thẳng và compa).

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .

+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.

Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.

b)

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác AA’, BB’, CC’ của tam giác đều ABC)

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA

Hai đường trung trực cắt nhau tại O

Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tính AA’:

Xét tam giác AA’C vuông tại A’ (do AA’ là đường cao)

Có: AC = 3cm

A’ là trung điểm của BC $\Rightarrow A\text{'}C=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$(cm)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$A{C}^2=AA{\text{'}}^2+A\text{'}{C}^2$

$\Rightarrow AA{\text{'}}^2=A{C}^2-A\text{'}{C}^2=3^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{27}{4}$

$\Rightarrow AA\text{'}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$(cm)

Theo cách dựng, ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến)

$\Rightarrow OA=\frac{2}{3}AA\text{'}=\frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ (cm)

Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R = OA = $\sqrt{3}$ (cm)

c)

Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.

Đường tròn nội tiếp tam giác (O; r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A’, B’, C’ của các cạnh.

$\Rightarrow$r = OA' = OB' = OC'

Vậy đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O và bán kính r = OA' = OB' = OC'.

Theo cách dựng, ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến)

$\Rightarrow OA\text{'}=\frac{1}{3}AA\text{'}=\frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cm)

$\Rightarrow r=\frac{\sqrt{3}}{2}$cm

d)

Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại A, B, C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K.

Ta có: Tam giác IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O; R).